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试题详情

对于实数,将满足“为整数”的实数称为实数的小数部分,用记号表示,例如对于实数,无穷数列满足如下条件:

其中

(1)若,求数列的通项公式;

(2)当时,对任意的,都有,求符合要求的实数构成的集合

(3)若是有理数,设是整数,是正整数,,互质),对于大于的任意正整数,是否都有成立,证明你的结论。

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试题答案

见解析

试题解析

(1) ,…….2分

,则

所以………………………3分

(2) , 所以 ,从而

①当,即时,

所以

解得: (,舍去)         ……………….4分

②当 ,即 时,

所以

解得 ( ,舍去)  ………………5分

①     当 时,即 时,

解得 ( ,舍去)      ………………6分

综上,集合.      ………………7分

(3)结论成立.                                    ……………………8分

是有理数,可知对一切正整数为0或正有理数,

可设是非负整数,是正整数,且互质)

,可得;…………………9分

,设是非负整数)

,而由

,故,可得 ………11分

均不为0,则这正整数互不相同且都小于

但小于的正整数共有个,矛盾.

中至少有一个为0,即存在,使得.

从而数列以及它之后的项均为0,

所以对于大于的自然数,都有……………………13分

少年,再来一题如何?
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