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试题详情

已知集合,对于,定义

之间的距离为

(1)当时,设,若,求

(2)(ⅰ)证明:若,且,使,则

(ⅱ)设,且,是否一定,使

说明理由;

(3)记,若,且,求的最大值。

已帮助 194 人解答此问题

试题答案

见解析

试题解析

(1)解:当时,由

,即

,得 ,或。                               ………………3分

(2)(ⅰ)证明:设

因为 ,使

所以 ,使得

,使得 ,其中

所以 同为非负数或同为负数。           ………………5分

所以

。                    ………………6分

(ⅱ)解:设,且,此时不一定,使得

。                                                          ………………7分

反例如下:取

,显然

因为

所以不存在,使得。                               ………………8分

(3)解法一:因为

中有项为非负数,项为负数,不妨设时,

所以

因为

所以 ,  整理得

所以 。……………10分

因为

所以

。                                               ……………12分

对于 ,有 ,且

综上,的最大值为。                                    ……………13分

解法二:首先证明如下引理:设,则有

证明:因为

所以

所以

。           ……………11分

上式等号成立的条件为,或,所以 。        ……………12分

对于 ,有 ,且

综上,的最大值为。                                    ……………13分

少年,再来一题如何?
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