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试题详情

已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E,F分别是AB、PD的中点。

(1)求证:AF∥平面PEC;

(2)求二面角P﹣EC﹣D的余弦值;

(3)求点B到平面PEC的距离。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,所以以A为原点,如图建立直角坐标系。

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),E(1,0,0),F(),P(0,0,1)。

取PC的中点M,连结ME,则M(),

,即AF∥EM,又EM⊂平面PEC,AF⊄平面PEC,所以AF∥平面PEC;

(2)设平面PEC的法向量为

,可得,令z=﹣1,得y=1,x=﹣1。

取平面ABCD的一个法向量为

=

所以二面角P﹣EC﹣D的余弦值等于

(3),平面PEC的法向量

所以点B到平面PEC的距离d=

少年,再来一题如何?
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