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试题详情

如图,四棱柱中,底面.四边形为梯形,

,且.过三点的平面记为的交点为.

(1)证明:的中点;

(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;

(3)若,梯形的面积为6,

求平面与底面所成二面角大小.

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试题答案

见解析。

试题解析

本题以直四棱柱为背景,考察学生的空间意识、运算和推演能力,考查空间整合思想的运用。

(1)取AD中点M,AA1中点N,连MN,MC,NQ。则MN‖A1D,又QC‖A1D,则MN‖QC,由于四棱柱中,底面.则∠AMN与∠BCQ分别是MN与QC与底面所成的角,则∠AMN=∠BCQ。又∠NAM=∠QBC=

BC=AM,则∆AMN∆BCQ,则BQ=AN,则Q是BB1中点。

(2)若AB,CD交于点E,则A1Q过点E,若∆BCE面积为s,则四边形面积为3s,设AA1=2h,则棱锥A1-AED有体积为,三棱锥Q-BCE体积为,则多面体BCQ-ADA1的体积为,又四棱柱的体积为3sh,此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为

(3)过A作AH⊥CD于H,连A1H,则∠A1HA为平面与底面所成二面角之锐二面角。由于,∆ADH面积是梯形面积的,即为4.由于CD=2,则AH=4,而,则∠A1HA=

所以,平面与底面所成二面角大小为.

少年,再来一题如何?
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