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试题详情

已知函数f(x)=lnx﹣ax2+(2﹣a)x。

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设a>0,证明:当0<x<时,f(+x)>f(﹣x);

(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f′( x0)<0。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x)==﹣

①若a>0,则由f′(x)=0,,得x=,且当x∈(0,)时,f′(x)>0,

当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,

所以f(x)在(0,)单调递增,在(,+∞)上单调递减;

②当a≤0时,(x)>0恒 成立,因此f(x)在(0,+∞)单调递增;

(2)设函数g(x)=f(+x)﹣f(﹣x),则g(x)=ln(1+ax)﹣ln(1﹣ax)﹣2ax,

g′(x)==

当x∈(0,)时,g′(x)>0,而g(0)=0,

所以g(x)>0,

故当0<x<时,f(+x)>f(﹣x);

(3)由(1)可得,当a≤0时,函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点,

故a>0,从而f(x)的最大值为f(),且f()>0,

不妨设A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2

则0<x1<x2

由(2)得,f(﹣x1)﹣f()>f(x1)﹣f(x2)=0,

从而f(x)在(,+∞)单调递减,∴﹣x1<x2,,于是x0=

由(1)知,f′( x0)<0。

少年,再来一题如何?
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