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试题详情

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点。

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角CPBA的余弦值。

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试题答案

见解析

试题解析

（1）证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

因为BC⊂平面PBC.

所以平面PBC⊥平面PAC.

（2）解法一：

过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.

如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。

因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.

因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)。

故＝(，0,0)，＝(0,1,1)。

设平面BCP的法向量为n1＝(x，y，z)，

则

所以

不妨令y＝1，则n1＝(0,1，－1)。

因为＝(0,0,1)，＝(，－1,0)。

设平面ABP的法向量为n2＝(x，y，z)，

则所以

不妨令x＝1，则n2＝(1，，0)，

于是cos〈n1，n2〉＝.

所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.

解法二：

过C作CM⊥AB于M，

因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，

所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB.

过M作MN⊥PB于N，连接NC，

由三垂线定理得CN⊥PB.

所以∠CNM为二面角CPBA的平面角。

在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝，CM＝，BM＝，

在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.

因为Rt△BNM∽Rt△BAP，

所以，故MN＝.

又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝.

所以二面角CPBA的余弦值为

少年，再来一题如何？
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