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试题详情

如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2,侧棱长为中点。

(1)求证;∥平面

(2)求二面角A1-AB1-D的大小。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)如图,连结A1B与AB1交于E,连结DE,则E为A1B的中点,

∴BC1∥DE,平面平面,

∥平面

(2)过D作DF⊥A1B1于F,

由正三棱柱的性质,AA1⊥DF,∴DF⊥平面ABB1A1

连结EF,DE,在正三角形A1B1C1中,

∵D是A1C1的中点,∴

又在直角三角形AA1D中,

,∴AD=B1D。

∴DE⊥AB1,∴可得EF⊥AB1

则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角,

可求得

∵△B1FE∽△B1AA1,得

,即为所求。

(2)解法(二)(空间向量法)

建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B1(0,1,),

C1(-,0,),A1(0,-1,),D(-,-)。     

n1=(x,y,z)是平面AB1D的一个法向量,

则可得 ,即

又平面ABB1A1的一个法向量

n1n2的夹角是θ,则 cosθ=

又可知二面角A1-AB1-D是锐角。

∴二面角A1-AB1-D的大小是

少年,再来一题如何?
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