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试题详情

如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点。

(1)求证:B1E⊥AD1

(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的行;若存在,求AP的长;若不存在,说明理由。

(3)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,求AB的长。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)以A为原点,的方向为X轴,Y轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,

设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1)

=(0,1,1),=(﹣,1,﹣1),=(a,0,1),=(,1,0),

=1﹣1=0

∴B1E⊥AD1

(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,﹣1,t)。

又设平面B1AE的法向量=(x,y,z)。

⊥平面B1AE,∴⊥B1A,⊥AE,得,取x=1,得平面B1AE的一个法向量=(1,﹣,﹣a)。

要使DP∥平面B1AE,只要,即有=0,有此得﹣at=0,解得t=,即P(0,0,),

又DP⊈平面B1AE,

∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=

(3)连接A1D,B1C,由长方体ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D。

∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C。

由(1)知,B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1

∴AD1⊥平面DCB1A1

∴AD1是平面B1A1E的一个法向量,此时=(0,1,1)。

所成的角为θ,则cosθ==

∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,

∴|cosθ|=cos30°==,解得a=2,即AB的长为2

少年,再来一题如何?
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