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试题详情

设椭圆的离心率为,其左焦点与抛物线的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点的直线与曲线只有一个交点,则

(1)求直线的方程;

(2)椭圆上是否存在点,使得,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)抛物线的焦点为,它是题设椭圆的左焦点.离心率为

所以,.由求得.

因此,所求椭圆的方程为  (*)

(2)椭圆的右焦点为,过点轴平行的直线显然与曲线没有交点.设直线的斜率为

①  若,则直线过点且与曲线只有一个交点,此时直线

的方程为

②  若,因直线过点,故可设其方程为,将其代入

消去,得.因为直线与曲线只有一个交点,所以判别式,于是,从而直线的方程为.因此,所求的直线的方程为.

可求出点的坐标是.

①若点的坐标是,则.于是=,从而,代入(*)式联立:

,求得,此时满足条件的点有4个:

.

②若点的坐标是,则,点M到直线的距离是

于是有,从而

与(*)式联立:解之,可求出满足条件的点有4个:.

③  若点的坐标是,则,点到直线:的距离是,于是有,从而

与(*)式联立:,解之,可求出满足条件的点有4个:  ,,.

综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求。

少年,再来一题如何?
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