↑ 收起筛选 ↑

试题详情

如图,已知椭圆的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别

,过原点且不与轴重合的直线的四个交点按纵坐标从

大到小依次为A,B,C,D,记,△和△的面积分别为.

(1)当直线轴重合时,若,求的值;

(2)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由。

已帮助 221 人解答此问题

试题答案

(1);(2)当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

试题解析

依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

C1,C2.

其中a>m>n>0,λ=.

(1)解法1:

如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1|BD|·|OM|=a|BD|,S2|AB|·|ON|=a|AB|,

所以.

在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,

于是.

,则,化简得λ2-2λ-1=0.

由λ>1,可解得λ=.

故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=.

解法2:如图1,若直线l与y轴重合,则

|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;

S1|BD|·|OM|=a|BD|,

S2|AB|·|ON|=a|AB|。

所以.

,则,化简得λ2-2λ-1=0.

由λ>1,可解得λ=.

故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=.

(2)解法1:

如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则,所以d1=d2.

又S1|BD|d1,S2|AB|d2,所以,即|BD|=λ|AB|。

由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|,

|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是

.①

将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得

.

根据对称性可知xC=-xB,xD=-xA,于是

.②

从而由①和②式可得

.③

,则由m>n,可得t≠1,于是由③可解得.

因为k≠0,所以k2>0.于是③式关于k有解,当且仅当

等价于由λ>1,可解得<t<1,

,由λ>1,解得λ>,所以

当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2

当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),

点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2

,所以d1=d2.

又S1|BD|d1,S2|AB|d2,所以.

因为,所以.

由点A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在C1,C2上,可得,两式相减可得

依题意xA>xB>0,所以.所以由上式解得.

因为k2>0,所以由,可解得.

从而,解得λ>,所以

当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2

当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

少年,再来一题如何?
相关试题