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试题详情

过坐标原点作倾斜角为的直线交抛物线点,过点作倾斜角为的直线交轴于点,交点;过点作倾斜角为的直线交轴于点,交点;过点作倾斜角为的直线,交轴于点,交点;如此下去……,又设线段的长分别为,数列的前项的和为

(1)求

(2)求

(3)设,数列的前项和为,若正整数成等差数列,且,试比较的大小。

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试题答案

(1),(2),(3)

试题解析

(1)如图,由是边长为的等边三角形,得点的坐标为,又在抛物线上,所以,得

同理在抛物线上,得

(2)如图,法1:点的坐标为,即点,所以直线的方程为,因此,点的坐标满足

消去 ,    所以

,故

从而  ……①

由①有  ……②

②-①得

,又,于是

所以是以为首项、为公差的等差数,

(3)因为

所以数列是正项等比数列,且公比,首项

因正整数成等差数列,且,设其公差为,则

为正整数,所以

… 2分

=

因为,所以

为正整数,所以同号,

,所以,

少年,再来一题如何?
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