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试题详情

已知函数

(1)判断的奇偶性;

(2)设函数在区间上的最小值为,求的表达式;

(3)若,证明:方程有两个不同的正数解。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)时,是奇函数;……(2分)时,既不是奇函数也不是偶函数,……(2分)

(2)当时,,函数图像的对称轴为直线,……(1分)

,即时,函数上是增函数,所以;…(1分)

,即时,函数上是减函数,在上是增函数,

所以;……(1分)

,即时,函数上是减函数,所以,……(1分)

综上, ,……(2分)

(3)证法一:

,则时,,方程可化为,即,……(2分)

,在同一直角坐标系中作出函数 时的图像,…………(2分)

因为,所以,即当

函数图像上的点在函数图像点的上方,……(3分)

所以函数的图像在第一象限有两个不同交点。

即方程有两个不同的正数解,…………(1分)

证法二:

,则时,,方程可化为

,…………(2分)

,在同一直角坐标系中作出函数时的图像,……(2分)

因为,所以

即当时,函数图像上的点在

函数图像点的上方,…………(3分)

所以函数的图像在第四象限有两个不同交点。

所以方程有两个不同的正数解,…………(1分)

少年,再来一题如何?
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