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试题详情

对于无穷数列,记,给出下列定义:①若存在实数,使成立,则称数列为“有上界数列”;②若为有上界数列,且存在,使成立,则称为“有最大值数列”;③若,则称数列为“差减小数列”。

(1)根据上述定义,判断数列分别是那种数列?

(2)在数列中,,求证:数列既是有上界数列又是差减小数列;

(3)若数列是有上界数列且是差减小数列但不是有最大值数列,求证:无穷数列为单调递增数列。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)1),显然,且存在

所以数列既是由上界数列,又是有最大值数列,    ………2分

2),,,

且不存在,使成立;所以数列是差减小数列,又是有上界数列 …4分

(2)下面用反证法证明,假设存在某个k使得,成立,则必有,显然与已知矛盾,所以不成立;假设存在某个k使得,成立,则必有成立,即得到成立,与矛盾,所以

, ,两式相减得:,即,即,所以既是差减少数列又是有上界数列,………4分

(3)用反证法,假设无穷数列不是单调递增数列,则设k为第一个使成立的自然数,即,又是差减小数列,所以,数列从第k项开始都有,即,又因为此时,所以数列从第k项开始为单调递减数列,又由于k为第一个使成立的自然数,所以无穷数列中,必有

无穷数列为有最大值数列,与已知矛盾,所以假设不成立,无穷数列一定是单调递增数列,5分

少年,再来一题如何?
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