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试题详情

已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N

(1)求E的方程;

(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.

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试题答案

见解析

试题解析

(1)设P(x,y),则

化简得x2-=1(y≠0)

(2)①当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为y=k(x-2)(k≠0)

与双曲线x2-=1联立消去y得(3-k)2x2+4k2x-(4k2+3)=0

由题意知3-k2≠0且△>0

设B(x1,y1),C(x2,y2),

y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]

=k2(+4)

因为x1、x2≠-1

所以直线AB的方程为y=(x+1)

因此M点的坐标为()

,同理可得

因此

=0

②当直线BC与x轴垂直时,起方程为x=2,则B(2,3),C(2,-3)

AB的方程为y=x+1,因此M点的坐标为(),

同理可得

因此=0

综上=0,即FM⊥FN

故以线段MN为直径的圆经过点F

少年,再来一题如何?
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