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试题详情

已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=﹣3的距离小2。

(1)求曲线Γ的方程;

(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N,以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B,试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)设S(x,y)曲线Γ上的任意一点,

由题意可得:点S到F(0,1)的距离与它到直线y=﹣1的距离相等,

曲线Γ是以F为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线,

∴曲线Γ的方程为:x2=4y。

(2)当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变,

证明如下:由(1)可知抛物线的方程为y=

设P(x0,y0)(x0≠0)则y0=

由y得切线l的斜率k==

∴切线l的方程为:,即

又N(0,3),

所以圆心C(),半径r==

∴点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变。

少年,再来一题如何?
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