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试题详情

18.如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.

(I)证明GAB的中点;

(II)在答题卡第(18)题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.

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试题答案

(1)证明

∵ PD 面ABC ∴ PDAB

∵ DE面PAB ∴ DEAB

又∵ PDDE ∴ AB平面PGD ∴ PGAB

∵ 正三棱锥P-ABC中PA=PB ∴ G为AB中点

(2)正三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC ∵ 各侧面为直角三角形

∴PAPB,PBPC,PCPA,∴ PB平面PAC

作EF//PB交PA于F 则EF面PAC ∴ F为E在平面PAC内正投影

正三棱锥P-ABC中,D 为三角形ABC的重心,PA=6 ∴ AB=

∴DG=PG=∴PD=

中由摄影定理PD=PEPG ∴ PE=

为等腰三角形,EFPA ∴EF=PF=

D-PEF的高为DE.

RtPGD中 DE==2

∴四面体PDEF体积

试题解析
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