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试题详情

直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点。

(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;

(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分。

所以可设A,代入椭圆方程得,即.

所以|AC|=.

(2)假设四边形OABC为菱形。

因为点B不是W的顶点,且AC⊥OB,所以k≠0.

消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.

设A(x1,y1),C(x2,y2),

.

所以AC的中点为M.

因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,所以直线OB的斜率为.

因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直。

所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾。

所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形。

少年,再来一题如何?
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