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试题详情

在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C。

(1)求轨迹C的方程;

(2)设斜率为k的直线l过定点P(﹣2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)设M(x,y),依题意得:|MF|=|x|+1,即

化简得,y2=2|x|+2x。

∴点M的轨迹C的方程为

(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0)。

依题意,可设直线l的方程为y﹣1=k(x+2)。

由方程组,可得ky2﹣4y+4(2k+1)=0。

①当k=0时,此时y=1,把y=1代入轨迹C的方程,得

故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点()。

②当k≠0时,方程ky2﹣4y+4(2k+1)=0的判别式为△=﹣16(2k2+k﹣1)。

设直线l与x轴的交点为(x0,0),

则由y﹣1=k(x+2),取y=0得

,解得k<﹣1或k>

即当k∈时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,

故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点。

,解得k=﹣1或k=

即当k=﹣1或k=时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点。

时,直线l与C1有两个公共点,与C2无公共点。

故当k=﹣1或k=时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点。

,解得﹣1<k<﹣或0<k<

即当﹣1<k<﹣或0<k<时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点。

此时直线l与C恰有三个公共点。

综上,当k∈∪{0}时,直线l与C恰有一个公共点;

当k∪{﹣1,}时,直线l与C恰有两个公共点;

当k∈时,直线l与轨迹C恰有三个公共点。

少年,再来一题如何?
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