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试题详情

某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.

(1)证明:直线B1D1⊥平面ACC2A2

(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?

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试题答案

见解析

试题解析

(1)因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的侧面是全等的矩形,

所以AA2⊥AB,AA2⊥AD。又因为AB∩AD=A,所以AA2⊥平面ABCD。

连接BD,因为BD⊂平面ABCD,所以AA2⊥BD。

因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD。

根据棱台的定义可知,BD与B1D1共面

又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD,

平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥BD。于是

由AA2⊥BD,AC⊥BD,B1D1∥BD,可得AA2⊥B1D1,AC⊥B1D1.

又因为AA2∩AC=A,所以B1D1⊥平面ACC2A2.

(2)因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以S1=S四棱柱上底面+S四棱柱侧面=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2)。

又因为四棱台A1B1C1D1-ABCD的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,

所以S2=S四棱台下底面+S四棱台侧面

=(A1B1)2+4×(AB+A1B1)h等腰梯形的高

=202+4×(10+20)

=1 120(cm2)。

于是该实心零部件的表面积为S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2),

故所需加工处理费为0.2S=0.2×2 420=484(元)

少年,再来一题如何?
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