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试题详情

已知圆及定点,点是圆上的动点,点上,点上,且满足=2·

(1)若,求点的轨迹的方程;

(2)若动圆和(1)中所求轨迹相交于不同两点,是否存在一组正实数,使得直线垂直平分线段,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)的中点,

点与点重合,∴

∴点的轨迹是以为焦点的椭圆,

的轨迹方程是

(2)不存在这样一组正实数,下面证明:

由题意,若存在这样的一组正实数,当直线的斜率存在时,

设之为,故直线的方程为:

,设中点

,两式相减得:

注意到

  ,

 ,     ②

又点在直线上,

代入②式得:

因为弦的中点在⑴所给椭圆内,故

这与矛盾,所以所求这组正实数不存在。

当直线的斜率不存在时,直线的方程为

则此时

代入①式得,这与是不同两点矛盾。

综上,所求的这组正实数不存在。

少年,再来一题如何?
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