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试题详情

已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为4,M、N是椭圆上的的动点。

(1)求椭圆标准方程;

(2)设动点满足:,直线的斜率之积为,证明:存在定点,使得为定值,并求出的坐标;

(3)若在第一象限,且点关于原点对称,垂直于轴于点,连接 并延长交椭圆于点,记直线的斜率分别为,证明:

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)由题设可知:因为抛物线的焦点为

所以椭圆中的又由椭圆的长轴为4得

故椭圆的标准方程为:

(2)设

可得:

由直线OM与ON的斜率之积为可得:

 ,即

由①②可得:

         M、N是椭圆上的点,故

,即

由椭圆定义可知存在两个定点

使得动点P到两定点距离和为定值;

(3)设,由题设可知

由题设可知斜率存在且满足.③

将③代入④可得:

在椭圆

少年,再来一题如何?
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